3.21 \(\int \frac{(e x)^m \left (a+b x^n\right )^4 \left (A+B x^n\right )}{c+d x^n} \, dx\)

Optimal. Leaf size=380 \[ \frac{b^2 x^{2 n+1} (e x)^m \left (6 a^2 B d^2-4 a b d (B c-A d)+b^2 c (B c-A d)\right )}{d^3 (m+2 n+1)}+\frac{b x^{n+1} (e x)^m \left (4 a^3 B d^3-6 a^2 b d^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 \left (-c^2\right ) (B c-A d)\right )}{d^4 (m+n+1)}+\frac{(e x)^{m+1} \left (a^4 B d^4-4 a^3 b d^3 (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+b^4 c^3 (B c-A d)\right )}{d^5 e (m+1)}-\frac{b^3 x^{3 n+1} (e x)^m (-4 a B d-A b d+b B c)}{d^2 (m+3 n+1)}-\frac{(e x)^{m+1} (b c-a d)^4 (B c-A d) \, _2F_1\left (1,\frac{m+1}{n};\frac{m+n+1}{n};-\frac{d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (m+1)}+\frac{b^4 B x^{4 n+1} (e x)^m}{d (m+4 n+1)} \]

[Out]

(b*(4*a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 6*a^2*b*d^2*(B
*c - A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^4*(1 + m + n)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c
- A*d) - 4*a*b*d*(B*c - A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d^3*(1 + m + 2*n)) - (b^3*(
b*B*c - A*b*d - 4*a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + 3*n)) + (b^4*B*x^(1
+ 4*n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + 4*n)) + ((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) - 4*a*b^3*
c^2*d*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c - A*d) - 4*a^3*b*d^3*(B*c - A*d))*(e*x)
^(1 + m))/(d^5*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeomet
ric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*d^5*e*(1 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi [A]  time = 1.51622, antiderivative size = 380, normalized size of antiderivative = 1., number of steps used = 11, number of rules used = 4, integrand size = 31, \(\frac{\text{number of rules}}{\text{integrand size}}\) = 0.129 \[ \frac{b^2 x^{2 n+1} (e x)^m \left (6 a^2 B d^2-4 a b d (B c-A d)+b^2 c (B c-A d)\right )}{d^3 (m+2 n+1)}+\frac{b x^{n+1} (e x)^m \left (4 a^3 B d^3-6 a^2 b d^2 (B c-A d)+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 \left (-c^2\right ) (B c-A d)\right )}{d^4 (m+n+1)}+\frac{(e x)^{m+1} \left (a^4 B d^4-4 a^3 b d^3 (B c-A d)+6 a^2 b^2 c d^2 (B c-A d)-4 a b^3 c^2 d (B c-A d)+b^4 c^3 (B c-A d)\right )}{d^5 e (m+1)}-\frac{b^3 x^{3 n+1} (e x)^m (-4 a B d-A b d+b B c)}{d^2 (m+3 n+1)}-\frac{(e x)^{m+1} (b c-a d)^4 (B c-A d) \, _2F_1\left (1,\frac{m+1}{n};\frac{m+n+1}{n};-\frac{d x^n}{c}\right )}{c d^5 e (m+1)}+\frac{b^4 B x^{4 n+1} (e x)^m}{d (m+4 n+1)} \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Int[((e*x)^m*(a + b*x^n)^4*(A + B*x^n))/(c + d*x^n),x]

[Out]

(b*(4*a^3*B*d^3 - b^3*c^2*(B*c - A*d) + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) - 6*a^2*b*d^2*(B
*c - A*d))*x^(1 + n)*(e*x)^m)/(d^4*(1 + m + n)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c
- A*d) - 4*a*b*d*(B*c - A*d))*x^(1 + 2*n)*(e*x)^m)/(d^3*(1 + m + 2*n)) - (b^3*(
b*B*c - A*b*d - 4*a*B*d)*x^(1 + 3*n)*(e*x)^m)/(d^2*(1 + m + 3*n)) + (b^4*B*x^(1
+ 4*n)*(e*x)^m)/(d*(1 + m + 4*n)) + ((a^4*B*d^4 + b^4*c^3*(B*c - A*d) - 4*a*b^3*
c^2*d*(B*c - A*d) + 6*a^2*b^2*c*d^2*(B*c - A*d) - 4*a^3*b*d^3*(B*c - A*d))*(e*x)
^(1 + m))/(d^5*e*(1 + m)) - ((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d)*(e*x)^(1 + m)*Hypergeomet
ric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n)/c)])/(c*d^5*e*(1 + m))

_______________________________________________________________________________________

Rubi in Sympy [A]  time = 114.282, size = 357, normalized size = 0.94 \[ \frac{A a^{4} \left (e x\right )^{m + 1}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + 1}{n} \\ \frac{m + n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c e \left (m + 1\right )} + \frac{B b^{4} x^{- m} x^{m + 5 n + 1} \left (e x\right )^{m}{{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + 5 n + 1}{n} \\ \frac{m + 6 n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c \left (m + 5 n + 1\right )} + \frac{a^{3} x^{n} \left (e x\right )^{- n} \left (e x\right )^{m + n + 1} \left (4 A b + B a\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + n + 1}{n} \\ \frac{m + 2 n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c e \left (m + n + 1\right )} + \frac{2 a^{2} b x^{- m} x^{m + 2 n + 1} \left (e x\right )^{m} \left (3 A b + 2 B a\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + 2 n + 1}{n} \\ \frac{m + 3 n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c \left (m + 2 n + 1\right )} + \frac{2 a b^{2} x^{3 n} \left (e x\right )^{- 3 n} \left (e x\right )^{m + 3 n + 1} \left (2 A b + 3 B a\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + 3 n + 1}{n} \\ \frac{m + 4 n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c e \left (m + 3 n + 1\right )} + \frac{b^{3} x^{4 n} \left (e x\right )^{- 4 n} \left (e x\right )^{m + 4 n + 1} \left (A b + 4 B a\right ){{}_{2}F_{1}\left (\begin{matrix} 1, \frac{m + 4 n + 1}{n} \\ \frac{m + 5 n + 1}{n} \end{matrix}\middle |{- \frac{d x^{n}}{c}} \right )}}{c e \left (m + 4 n + 1\right )} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  rubi_integrate((e*x)**m*(a+b*x**n)**4*(A+B*x**n)/(c+d*x**n),x)

[Out]

A*a**4*(e*x)**(m + 1)*hyper((1, (m + 1)/n), ((m + n + 1)/n,), -d*x**n/c)/(c*e*(m
+ 1)) + B*b**4*x**(-m)*x**(m + 5*n + 1)*(e*x)**m*hyper((1, (m + 5*n + 1)/n), ((
m + 6*n + 1)/n,), -d*x**n/c)/(c*(m + 5*n + 1)) + a**3*x**n*(e*x)**(-n)*(e*x)**(m
+ n + 1)*(4*A*b + B*a)*hyper((1, (m + n + 1)/n), ((m + 2*n + 1)/n,), -d*x**n/c)
/(c*e*(m + n + 1)) + 2*a**2*b*x**(-m)*x**(m + 2*n + 1)*(e*x)**m*(3*A*b + 2*B*a)*
hyper((1, (m + 2*n + 1)/n), ((m + 3*n + 1)/n,), -d*x**n/c)/(c*(m + 2*n + 1)) + 2
*a*b**2*x**(3*n)*(e*x)**(-3*n)*(e*x)**(m + 3*n + 1)*(2*A*b + 3*B*a)*hyper((1, (m
+ 3*n + 1)/n), ((m + 4*n + 1)/n,), -d*x**n/c)/(c*e*(m + 3*n + 1)) + b**3*x**(4*
n)*(e*x)**(-4*n)*(e*x)**(m + 4*n + 1)*(A*b + 4*B*a)*hyper((1, (m + 4*n + 1)/n),
((m + 5*n + 1)/n,), -d*x**n/c)/(c*e*(m + 4*n + 1))

_______________________________________________________________________________________

Mathematica [A]  time = 1.24672, size = 290, normalized size = 0.76 \[ x (e x)^m \left (\frac{a^4 A}{c m+c}+\frac{b^2 x^{2 n} \left (6 a^2 B d^2+4 a b d (A d-B c)+b^2 c (B c-A d)\right )}{d^3 (m+2 n+1)}+\frac{b x^n \left (4 a^3 B d^3+6 a^2 b d^2 (A d-B c)+4 a b^2 c d (B c-A d)+b^3 c^2 (A d-B c)\right )}{d^4 (m+n+1)}+\frac{b^3 x^{3 n} (4 a B d+A b d-b B c)}{d^2 (m+3 n+1)}+\frac{(b c-a d)^4 (A d-B c) \, _2F_1\left (1,\frac{m+1}{n};\frac{m+n+1}{n};-\frac{d x^n}{c}\right )}{c d^5 (m+1)}+\frac{(b c-a d)^4 (B c-A d)}{c d^5 (m+1)}+\frac{b^4 B x^{4 n}}{d m+4 d n+d}\right ) \]

Antiderivative was successfully verified.

[In]  Integrate[((e*x)^m*(a + b*x^n)^4*(A + B*x^n))/(c + d*x^n),x]

[Out]

x*(e*x)^m*(((b*c - a*d)^4*(B*c - A*d))/(c*d^5*(1 + m)) + (a^4*A)/(c + c*m) + (b*
(4*a^3*B*d^3 + 4*a*b^2*c*d*(B*c - A*d) + b^3*c^2*(-(B*c) + A*d) + 6*a^2*b*d^2*(-
(B*c) + A*d))*x^n)/(d^4*(1 + m + n)) + (b^2*(6*a^2*B*d^2 + b^2*c*(B*c - A*d) + 4
*a*b*d*(-(B*c) + A*d))*x^(2*n))/(d^3*(1 + m + 2*n)) + (b^3*(-(b*B*c) + A*b*d + 4
*a*B*d)*x^(3*n))/(d^2*(1 + m + 3*n)) + (b^4*B*x^(4*n))/(d + d*m + 4*d*n) + ((b*c
- a*d)^4*(-(B*c) + A*d)*Hypergeometric2F1[1, (1 + m)/n, (1 + m + n)/n, -((d*x^n
)/c)])/(c*d^5*(1 + m)))

_______________________________________________________________________________________

Maple [F]  time = 0.078, size = 0, normalized size = 0. \[ \int{\frac{ \left ( ex \right ) ^{m} \left ( a+b{x}^{n} \right ) ^{4} \left ( A+B{x}^{n} \right ) }{c+d{x}^{n}}}\, dx \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  int((e*x)^m*(a+b*x^n)^4*(A+B*x^n)/(c+d*x^n),x)

[Out]

int((e*x)^m*(a+b*x^n)^4*(A+B*x^n)/(c+d*x^n),x)

_______________________________________________________________________________________

Maxima [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{result too large to display} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x^n + A)*(b*x^n + a)^4*(e*x)^m/(d*x^n + c),x, algorithm="maxima")

[Out]

((b^4*c^4*d*e^m - 4*a*b^3*c^3*d^2*e^m + 6*a^2*b^2*c^2*d^3*e^m - 4*a^3*b*c*d^4*e^
m + a^4*d^5*e^m)*A - (b^4*c^5*e^m - 4*a*b^3*c^4*d*e^m + 6*a^2*b^2*c^3*d^2*e^m -
4*a^3*b*c^2*d^3*e^m + a^4*c*d^4*e^m)*B)*integrate(x^m/(d^6*x^n + c*d^5), x) + ((
m^4 + 2*m^3*(3*n + 2) + (11*n^2 + 18*n + 6)*m^2 + 6*n^3 + 2*(3*n^3 + 11*n^2 + 9*
n + 2)*m + 11*n^2 + 6*n + 1)*B*b^4*d^4*e^m*x*e^(m*log(x) + 4*n*log(x)) - (((m^4
+ 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n
^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*b^4*c^3*d*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) +
24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m +
35*n^2 + 10*n + 1)*a*b^3*c^2*d^2*e^m + 6*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n
^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n +
1)*a^2*b^2*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*
m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^3*b*d^4*e
^m)*A - ((m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*
(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*b^4*c^4*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3
*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15
*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a*b^3*c^3*d*e^m + 6*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n
^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^
2 + 10*n + 1)*a^2*b^2*c^2*d^2*e^m - 4*(m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2
+ 30*n + 6)*m^2 + 50*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)
*a^3*b*c*d^3*e^m + (m^4 + 2*m^3*(5*n + 2) + 24*n^4 + (35*n^2 + 30*n + 6)*m^2 + 5
0*n^3 + 2*(25*n^3 + 35*n^2 + 15*n + 2)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*a^4*d^4*e^m)*B)*x*
x^m + ((m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^2 + 21*n + 6)*m^2 + 8*n^3 + (8*n^3 + 28*n^2
+ 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*A*b^4*d^4*e^m - ((m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^
2 + 21*n + 6)*m^2 + 8*n^3 + (8*n^3 + 28*n^2 + 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*b^
4*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + m^3*(7*n + 4) + (14*n^2 + 21*n + 6)*m^2 + 8*n^3 + (8*n^3
+ 28*n^2 + 21*n + 4)*m + 14*n^2 + 7*n + 1)*a*b^3*d^4*e^m)*B)*x*e^(m*log(x) + 3*n
*log(x)) - (((m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^
3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*b^4*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + 4*m^3*(2*n
+ 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*
n^2 + 8*n + 1)*a*b^3*d^4*e^m)*A - ((m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*
m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*b^4*c^2*d^2*e
^m - 4*(m^4 + 4*m^3*(2*n + 1) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19
*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2 + 8*n + 1)*a*b^3*c*d^3*e^m + 6*(m^4 + 4*m^3*(2*n + 1
) + (19*n^2 + 24*n + 6)*m^2 + 12*n^3 + 2*(6*n^3 + 19*n^2 + 12*n + 2)*m + 19*n^2
+ 8*n + 1)*a^2*b^2*d^4*e^m)*B)*x*e^(m*log(x) + 2*n*log(x)) + (((m^4 + m^3*(9*n +
4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2
+ 9*n + 1)*b^4*c^2*d^2*e^m - 4*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 +
24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a*b^3*c*d^3*e^m + 6
*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27
*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a^2*b^2*d^4*e^m)*A - ((m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n
^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)
*b^4*c^3*d*e^m - 4*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24
*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a*b^3*c^2*d^2*e^m + 6*(m^4 + m^3
*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n + 6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m +
26*n^2 + 9*n + 1)*a^2*b^2*c*d^3*e^m - 4*(m^4 + m^3*(9*n + 4) + (26*n^2 + 27*n +
6)*m^2 + 24*n^3 + (24*n^3 + 52*n^2 + 27*n + 4)*m + 26*n^2 + 9*n + 1)*a^3*b*d^4*
e^m)*B)*x*e^(m*log(x) + n*log(x)))/((m^5 + 5*m^4*(2*n + 1) + 5*(7*n^2 + 8*n + 2)
*m^3 + 24*n^4 + 5*(10*n^3 + 21*n^2 + 12*n + 2)*m^2 + 50*n^3 + (24*n^4 + 100*n^3
+ 105*n^2 + 40*n + 5)*m + 35*n^2 + 10*n + 1)*d^5)

_______________________________________________________________________________________

Fricas [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[{\rm integral}\left (\frac{{\left (B b^{4} x^{5 \, n} + A a^{4} +{\left (4 \, B a b^{3} + A b^{4}\right )} x^{4 \, n} + 2 \,{\left (3 \, B a^{2} b^{2} + 2 \, A a b^{3}\right )} x^{3 \, n} + 2 \,{\left (2 \, B a^{3} b + 3 \, A a^{2} b^{2}\right )} x^{2 \, n} +{\left (B a^{4} + 4 \, A a^{3} b\right )} x^{n}\right )} \left (e x\right )^{m}}{d x^{n} + c}, x\right ) \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x^n + A)*(b*x^n + a)^4*(e*x)^m/(d*x^n + c),x, algorithm="fricas")

[Out]

integral((B*b^4*x^(5*n) + A*a^4 + (4*B*a*b^3 + A*b^4)*x^(4*n) + 2*(3*B*a^2*b^2 +
2*A*a*b^3)*x^(3*n) + 2*(2*B*a^3*b + 3*A*a^2*b^2)*x^(2*n) + (B*a^4 + 4*A*a^3*b)*
x^n)*(e*x)^m/(d*x^n + c), x)

_______________________________________________________________________________________

Sympy [F(-2)]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \text{Exception raised: TypeError} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((e*x)**m*(a+b*x**n)**4*(A+B*x**n)/(c+d*x**n),x)

[Out]

Exception raised: TypeError

_______________________________________________________________________________________

GIAC/XCAS [F]  time = 0., size = 0, normalized size = 0. \[ \int \frac{{\left (B x^{n} + A\right )}{\left (b x^{n} + a\right )}^{4} \left (e x\right )^{m}}{d x^{n} + c}\,{d x} \]

Verification of antiderivative is not currently implemented for this CAS.

[In]  integrate((B*x^n + A)*(b*x^n + a)^4*(e*x)^m/(d*x^n + c),x, algorithm="giac")

[Out]

integrate((B*x^n + A)*(b*x^n + a)^4*(e*x)^m/(d*x^n + c), x)